สรุปเรื่อง พีชคณิตของฟังก์ชัน

คิดว่าเรื่องนี้น่าจะได้เรียนต่อจากเมตริก  แต่อาจจะมีการสอนเรื่องฟังก์ชันอื่นก่อนนิดหน่อยลองศึกษาดูไม่ยาก

 พีชคณิตของฟังก์ชัน (Agebra Of Function)

พีชคณิตของฟังก์ชันเป็นการนำฟังก์ชันตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไปมา บวก ลบ คูณ หารกัน  เพื่อให้ได้ฟังก์ชันใหม่

นิยาม  กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของจำนวนจริง

f+g = {(x,y)|y= f(x)+g(x) และ x∈ D _f ∩ D_g  }

f-g  = {(x,y)|y= f(x)-g(x) และ x∈ D _f ∩ D_g  }

f.g  = {(x,y)|y= f(x).g(x) และ x∈ D _f ∩ D_g  }

f/g = {(x,y)|y= f(x)/g(x) และ x∈ D _f ∩ D_g  }

ตัวอย่างที่1  f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}

           

             g = {(1,4),(2,9),(3,10),(7,11)}

จงหา f+g , f-g , f.g , f/g

วิธีทำ

f+g = {(1,6),(3,14),(7,19)}

f - g = {(1,-2),(3,-6),(7,-3)}

f . g = {(1,8),(3,40),(7,88)}

f /g = {(1,1/2),(3,2/5),(7,8/11)}

ตัวอย่างที่2  กำหนด f(x) = 3x-5 , g(x) = x^2_ 4

จงหา  f+g , f-g , f.g , f/g

วิธีทำ

f+g(x) = (3x-5)+( x^2_ 4) = x²+3x-9

f - g(x) = (3x-5) - ( x^2_ 4) = -x²+3x-1

f . g(x) = (3x-5)( x^2_ 4) = 3x^3_5x^2_12x+20

f / g (x)  =  (3x-5)/( x^2_ 4) , x ≠ 2,-2

 D _f = R  ,   R _f = R  

D _{f +g}  =  D _{f -g}  =  D _{f . g}  =  D _f ∩ D_g = R 

D _{f /g}  =  D _f ∩ D_g  

และ g(x) ≠ 0 = R-{2,-2}

ตัวอย่างที่ 3  กำหนด f(x) = x^2_ 4 , D _f  = [-3,3]

                                 g(x) = 2x-1 , D _f  = [-1,4]

จงหา (f-g)(x) และ   D _{f -g}  , R _{f -g} 

วิธีทำ (f-g)(x) = (x^2_ 4) - (2x-1)

                        = x²- 2x-3

          D _{f -g}   = D _f ∩ D_g  = [-1,3]           

        หา R _{f -g}   จาก  (f-g)(x) = x²- 2x-3 = (x-1)² - 4

                       -1   ≤    x              ≤ 3

                       -2   ≤    x-1          ≤ 2

                        0   ≤      (x-1)²    ≤ 4

                       -4   ≤   (x-1)²-4    ≤ 0

R _{f -g} = [-4,0]

               
หมายเหตุ  แล้วจะเพิ่ม เรื่อง ฟังก์ชันคอมโพสิทให้ทีหลัง เรื่องนี้อาจงงนิดหน่อยสำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มศึกษา แต่จะพยายามเขียนให้เข้าใจง่ายที่สุดละกันและขอขอบคุณเพื่อนๆที่เข้ามาช่วยศึกษาและcommentด้วยนะคครับ  แล้วอ่านต่อบทความหน้า 

อ้างอิง  จากหนังสือ คณิตศาสตร์ 1 เตรียมวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือ