ฟังก์ชันคอมโพสิท (Composite Function)
เป็นการกระทำกันระหว่างฟังก์ชันตั้งแต่ 2 ฟังก์ชันขึ้นไป
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันที่เป็นเซตแบบแจกแจงเช่น
f = {(1,3),(2,4),(3,5)}
g = {(5,1),(3,2),(4,3)}
เราสามารถสร้างฟังก์ชันขึ้นมาใหม่ เรียกว่า gof (จีโอเอฟ) แต่ผมมักจะเรียกไปเลยว่า ก็อฟ
gof เป็นฟังก์ชันจาก f ไปยัง g
จะได้ gof = {(1,2),(2,4),(3,1)}
(gof)(1) = g(f(1)) = g(3) = 2
(gof)(2) = g(f(2)) = g(4) = 3
(gof)(3) = g(f(3)) = g(5) = 1
นิยาม ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R f ∩ Dg ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g
เขียนแทนด้วย gof กำหนด (gof)(x) = g(f(x)) ซึ่ง f(x) ∈ Dg
ตัวอย่างที่ 1 กำหนด f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}
g = {(2,a),(4,b),(7,c),(8,d)}
จงหา (gof)(1) , (gof)(3) , (gof)(7) พร้อมทั้งหา gof และ fog
วิธีทำ gof เป็นฟังก์ชัน จาก f ไป g
R f = {2,4,6,8} , Dg = {2,4,7,8}
R f ∩ Dg = {2,4,8} ≠ Ø แสดงว่าหา gof ได้
(gof)(1) = g(f(1)) = g(2) = a
(gof)(3) = g(f(3)) = g(4) = b
(gof)(7) = g(f(7)) = g(8) = d
ดังนั้นจะได้ gof = {(1,a),(3,b),(7,d)}
fog เป็นฟังก์ชันจาก g ไป f
Rg = {a,b,c,d} , Df = {1,3,5,7}
Rg ∩ Df = Ø
แสดงว่าหา fog ไม่ได้
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ f(x) = 3x-5 , g(x) = 1/x-3
จงหา gof , fog , (gof)(3) , (fog)(2)
วิธีทำ 1.) หา gof
R f = R
Dg = R - {3}
R f ∩ Dg ≠ Ø แสดงว่าหา gof ได้
(gof)(x) = g(f(x))
= g(3x-5)
= 1/(3x-5)-3 = 1/3x-8
ดังนั้น gof = {(x,y) | y = 1/3x-8}
(gof)(3) = g(f(3)) = g(4) = 1
2.) หา fog
Rg ≠ 0
Df = R
Rg ∩ Df ≠ Ø แสดงว่าหา fog ได้
(fog)(x) = f(g(x)) = f(1/x-3)
= 3(1/x-3)-5 = (3/x-3)-5
(fog)(x) = 18-5x/x-3
fog = {(x,y) | y = 18-5x/x-3}
(fog)(2) = 18-5(2)/2-3 = 18-10/-1
= -8
อ้างอิงจาก หนังสือ คณิตศาสตร์ 1 เตรียมวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือ (วิทยาลัยเทคโนโลยีอุตสาหกรรม)
วันพฤหัสบดีที่ 6 มกราคม พ.ศ. 2554
วันอาทิตย์ที่ 2 มกราคม พ.ศ. 2554
สรุปเรื่อง พีชคณิตของฟังก์ชัน
คิดว่าเรื่องนี้น่าจะได้เรียนต่อจากเมตริก แต่อาจจะมีการสอนเรื่องฟังก์ชันอื่นก่อนนิดหน่อยลองศึกษาดูไม่ยาก
พีชคณิตของฟังก์ชัน (Agebra Of Function)
พีชคณิตของฟังก์ชันเป็นการนำฟังก์ชันตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไปมา บวก ลบ คูณ หารกัน เพื่อให้ได้ฟังก์ชันใหม่
นิยาม กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของจำนวนจริง
f+g = {(x,y)|y= f(x)+g(x) และ x∈ D f ∩ Dg }
f-g = {(x,y)|y= f(x)-g(x) และ x∈ D f ∩ Dg }
f.g = {(x,y)|y= f(x).g(x) และ x∈ D f ∩ Dg }
f/g = {(x,y)|y= f(x)/g(x) และ x∈ D f ∩ Dg }
ตัวอย่างที่1 f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}
g = {(1,4),(2,9),(3,10),(7,11)}
จงหา f+g , f-g , f.g , f/g
วิธีทำ
วิธีทำ
f+g = {(1,6),(3,14),(7,19)}
f - g = {(1,-2),(3,-6),(7,-3)}
f . g = {(1,8),(3,40),(7,88)}
f /g = {(1,1/2),(3,2/5),(7,8/11)}
ตัวอย่างที่2 กำหนด f(x) = 3x-5 , g(x) = x2_ 4
จงหา f+g , f-g , f.g , f/g
วิธีทำ
f+g(x) = (3x-5)+( x2_ 4) = x2+3x-9
f - g(x) = (3x-5) - ( x2_ 4) = -x2+3x-1
f . g(x) = (3x-5)( x2_ 4) = 3x3_5x2_12x+20
f . g(x) = (3x-5)( x2_ 4) = 3x3_5x2_12x+20
f / g (x) = (3x-5)/( x2_ 4) , x ≠ 2,-2
D f = R , R f = R
D f +g = D f -g = D f . g = D f ∩ Dg = R
D f /g = D f ∩ Dg
และ g(x) ≠ 0 = R-{2,-2}
ตัวอย่างที่ 3 กำหนด f(x) = x2_ 4 , D f = [-3,3]
g(x) = 2x-1 , D f = [-1,4]
จงหา (f-g)(x) และ D f -g , R f -g
วิธีทำ (f-g)(x) = (x2_ 4) - (2x-1)
= x2- 2x-3
D f -g = D f ∩ Dg = [-1,3]
หา R f -g จาก (f-g)(x) = x2- 2x-3 = (x-1)2 - 4
-1 ≤ x ≤ 3
-2 ≤ x-1 ≤ 2
0 ≤ (x-1)2 ≤ 4
-4 ≤ (x-1)2-4 ≤ 0
R f -g = [-4,0]
หมายเหตุ แล้วจะเพิ่ม เรื่อง ฟังก์ชันคอมโพสิทให้ทีหลัง เรื่องนี้อาจงงนิดหน่อยสำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มศึกษา แต่จะพยายามเขียนให้เข้าใจง่ายที่สุดละกันและขอขอบคุณเพื่อนๆที่เข้ามาช่วยศึกษาและcommentด้วยนะคครับ แล้วอ่านต่อบทความหน้า
อ้างอิง จากหนังสือ คณิตศาสตร์ 1 เตรียมวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือ
สมัครสมาชิก:
บทความ (Atom)