สรุปเรื่อง ฟังก์ชันคอมโพสิทpart1 by got

ฟังก์ชันคอมโพสิท (Composite  Function)

เป็นการกระทำกันระหว่างฟังก์ชันตั้งแต่ 2 ฟังก์ชันขึ้นไป

ให้  f และ g  เป็นฟังก์ชัน  สำหรับฟังก์ชันที่เป็นเซตแบบแจกแจงเช่น

   f = {(1,3),(2,4),(3,5)}

   g = {(5,1),(3,2),(4,3)}

เราสามารถสร้างฟังก์ชันขึ้นมาใหม่ เรียกว่า gof (จีโอเอฟ) แต่ผมมักจะเรียกไปเลยว่า ก็อฟ

gof  เป็นฟังก์ชันจาก f ไปยัง g

 จะได้       gof  = {(1,2),(2,4),(3,1)}

(gof)(1) = g(f(1)) = g(3) = 2

(gof)(2) = g(f(2)) = g(4) = 3

(gof)(3) = g(f(3)) = g(5) = 1


นิยาม ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R _f ∩ D_g    ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g
เขียนแทนด้วย gof  กำหนด (gof)(x) = g(f(x))  ซึ่ง f(x) ∈ D_g

ตัวอย่างที่ 1  กำหนด f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}

                                  g = {(2,a),(4,b),(7,c),(8,d)}


จงหา (gof)(1) , (gof)(3) , (gof)(7)  พร้อมทั้งหา gof และ  fog

วิธีทำ   gof เป็นฟังก์ชัน จาก f ไป g

R _f   = {2,4,6,8} ,  D_g = {2,4,7,8}

R _f ∩ D_g  = {2,4,8}  ≠ Ø แสดงว่าหา gof ได้

(gof)(1) = g(f(1)) = g(2) = a

(gof)(3) = g(f(3)) = g(4) = b

(gof)(7) = g(f(7)) = g(8) = d

ดังนั้นจะได้  gof = {(1,a),(3,b),(7,d)}

fog  เป็นฟังก์ชันจาก g ไป f

R_g  =  {a,b,c,d} ,  D_f  =   {1,3,5,7}

R_g  ∩  D_f   = Ø

แสดงว่าหา fog   ไม่ได้

ตัวอย่างที่ 2  กำหนดให้ f(x) = 3x-5 , g(x) = 1/x-3

จงหา  gof , fog , (gof)(3) , (fog)(2)

วิธีทำ  1.) หา gof

           R _f  =  R       
           D_g   =  R - {3}

R _f ∩ D_g  ≠ Ø แสดงว่าหา gof ได้

           (gof)(x) = g(f(x))

                        = g(3x-5)

                        =  1/(3x-5)-3  = 1/3x-8

  ดังนั้น gof = {(x,y) | y = 1/3x-8}
            
  (gof)(3) = g(f(3)) = g(4) = 1

           2.)  หา  fog
   
                     R_g  ≠  0

                      D_f  =  R
 
 R_g  ∩  D_f   ≠ Ø  แสดงว่าหา fog ได้

(fog)(x) = f(g(x)) = f(1/x-3)

             = 3(1/x-3)-5 = (3/x-3)-5

(fog)(x) = 18-5x/x-3

     fog   = {(x,y) |  y = 18-5x/x-3} 
(fog)(2) = 18-5(2)/2-3 = 18-10/-1

             = -8       



อ้างอิงจาก   หนังสือ คณิตศาสตร์ 1 เตรียมวิศวกรรมศาสตร์  มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือ (วิทยาลัยเทคโนโลยีอุตสาหกรรม)

สรุปเรื่อง พีชคณิตของฟังก์ชัน

คิดว่าเรื่องนี้น่าจะได้เรียนต่อจากเมตริก  แต่อาจจะมีการสอนเรื่องฟังก์ชันอื่นก่อนนิดหน่อยลองศึกษาดูไม่ยาก

 พีชคณิตของฟังก์ชัน (Agebra Of Function)

พีชคณิตของฟังก์ชันเป็นการนำฟังก์ชันตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไปมา บวก ลบ คูณ หารกัน  เพื่อให้ได้ฟังก์ชันใหม่

นิยาม  กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของจำนวนจริง

f+g = {(x,y)|y= f(x)+g(x) และ x∈ D _f ∩ D_g  }

f-g  = {(x,y)|y= f(x)-g(x) และ x∈ D _f ∩ D_g  }

f.g  = {(x,y)|y= f(x).g(x) และ x∈ D _f ∩ D_g  }

f/g = {(x,y)|y= f(x)/g(x) และ x∈ D _f ∩ D_g  }

ตัวอย่างที่1  f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}

           

             g = {(1,4),(2,9),(3,10),(7,11)}

จงหา f+g , f-g , f.g , f/g

วิธีทำ

f+g = {(1,6),(3,14),(7,19)}

f - g = {(1,-2),(3,-6),(7,-3)}

f . g = {(1,8),(3,40),(7,88)}

f /g = {(1,1/2),(3,2/5),(7,8/11)}

ตัวอย่างที่2  กำหนด f(x) = 3x-5 , g(x) = x^2_ 4

จงหา  f+g , f-g , f.g , f/g

วิธีทำ

f+g(x) = (3x-5)+( x^2_ 4) = x²+3x-9

f - g(x) = (3x-5) - ( x^2_ 4) = -x²+3x-1

f . g(x) = (3x-5)( x^2_ 4) = 3x^3_5x^2_12x+20

f / g (x)  =  (3x-5)/( x^2_ 4) , x ≠ 2,-2

 D _f = R  ,   R _f = R  

D _{f +g}  =  D _{f -g}  =  D _{f . g}  =  D _f ∩ D_g = R 

D _{f /g}  =  D _f ∩ D_g  

และ g(x) ≠ 0 = R-{2,-2}

ตัวอย่างที่ 3  กำหนด f(x) = x^2_ 4 , D _f  = [-3,3]

                                 g(x) = 2x-1 , D _f  = [-1,4]

จงหา (f-g)(x) และ   D _{f -g}  , R _{f -g} 

วิธีทำ (f-g)(x) = (x^2_ 4) - (2x-1)

                        = x²- 2x-3

          D _{f -g}   = D _f ∩ D_g  = [-1,3]           

        หา R _{f -g}   จาก  (f-g)(x) = x²- 2x-3 = (x-1)² - 4

                       -1   ≤    x              ≤ 3

                       -2   ≤    x-1          ≤ 2

                        0   ≤      (x-1)²    ≤ 4

                       -4   ≤   (x-1)²-4    ≤ 0

R _{f -g} = [-4,0]

               
หมายเหตุ  แล้วจะเพิ่ม เรื่อง ฟังก์ชันคอมโพสิทให้ทีหลัง เรื่องนี้อาจงงนิดหน่อยสำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มศึกษา แต่จะพยายามเขียนให้เข้าใจง่ายที่สุดละกันและขอขอบคุณเพื่อนๆที่เข้ามาช่วยศึกษาและcommentด้วยนะคครับ  แล้วอ่านต่อบทความหน้า 

อ้างอิง  จากหนังสือ คณิตศาสตร์ 1 เตรียมวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือ